Blog d'Ampliació de Matemàtiques de 2n d'ESO de l'Escola Garbí

LA CALCULADORA XINESA

2010-06-08T22:45:00.003+02:00

Hola, som la Júlia i la Mònica.
Si us costa calcular multiplicacions, aquest es un bon truc que us servirà.
Consisteix en pensar una multiplicació (2x8), poses dues ralles verticals i vuit horitzontals; després, contes els eixos pels quals s’uneixen, en aquest cas serien 16. (8x2=16). Per que ho entengueu millor us farem un dibuix:

Esperem que aquest truc us serveixi per calcular diferents multiplicacions.

ELS DAUS MÀGICS

2010-06-08T18:34:00.002+02:00

Hola som l'Àlex Espinal i el Carlos Garcia i hos exposem el seguent enigma:

Aquest és un petit joc o truc en el que es pot demostrar que ets capaç de sumar les cares ocultes d'una torre de tres daus. Hauràs de demanarl-li a una de les persones que t'observin que apili els daus sense que la vegis, i un cop acabat que t'avisi.

Hauràs de restar-li a 21 al número del dau de dalt de tot de la torre i aquest serà la suma de les cares ocultes. També pots demanar a la gent que t'ho posi més difícil apilant cuantre daus,y llavors, per endivinar la suma de les cares ocultes s'haurà de restar a 28 el número del dau del cim de la torre.

Aquest truc es basa en què les cares oposades d'un dau de sis cares sumen 7.

Igualtat de 72

2010-06-06T15:44:00.004+02:00

Hola, som la Clàudia i la Joana i la nostre curiositat va sobre una igualtat de 72.
És curiós que de vegades, veus com una sèrie de números que en principi no tenen cap relació de cap tipus, pots acabar-los trobant una lògica:
2 + 5 + 13 + 16 + 17 + 19 = 3 + 6 + 12 + 16 + 17 + 18
Evidentment, aquesta igualtat és certa, 72 = 72. Però, què passa si ho elevem tot al quadrat?
4+25+169+256+289+361 = 9+36+144+256+289+324 ??

1104 = 1058
Com veieu, encara que als dos costats la suma sigui 72, al elevar els valors al quadrat no obtenim una igualtat.
No hem pogut descobrir perquè passa això però continuarem investigant-ho per poder explicar-ho.

EL TRIANGLE DE TARTAGLIA

2010-06-05T12:39:00.004+02:00

Som la Marta i l'Àfrica i presentem la nostra curiositat matemàtica, El Triangle de Tartaglia.

Aquest triangle es genera a partir de situar el número 1 al seu extrem superior, a partir d’aquí les successives files es construeixen col·locant un 1 a cada cantonada i la resta de caselles és igual a la suma dels dos nombres que té al damunt en una infinita sèrie d’uns laterals i de sumatoris de caselles que produeixen un incessant augment dels nombres que el composen.
Doncs bé, aquesta figura, que podria semblar pels neòfits un simple entreteniment de càlcul, amaga una diversitat de propietats i curiositats tan gran que el converteixen en un petit univers matemàtic en sí mateix i una eina d’immensa utilitat en el camp numèric, etc.
Els matemàtics de totes les èpoques, des del seu descobriment, han posat els seus ulls en ell i han buscat tota mena de sorprenents relacions, utilitats i recursos.

Aquestes són algunes de les seves característiques:

- El número 1 de l’extrem superior del triangle es considera com la fila zero.

- Cada número es genera a partir de la suma dels dos nombres que té a sobre.
Així, per exemple, els dos uns de la fila 1 sumats formen el 2 central de la segona fila.
La tercera fila es forma a partir del 1 + 2 = 3 i 2 + 1 = 3. La quarta és 1 + 3 = 4, 3 + 3 = 6, etc.

- Totes les files mostren una estructura simètrica, les de ordre parell tenen un número central únic, les de ordre senar tenen dos nombres idèntics al centre. La suma de cada semifila imparell és, òbviament, igual.

- La suma dels nombres de cada fila és igual a 2 elevat al número de la fila.
La quarta fila, per exemple: 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2⁴. La sisena 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64 = 2⁶

- Cada fila expressa les successives potències del número 11, les quatre primeres de forma clara, i a partir de la cinquena fila, si una casella està formada per més d'una xifra, hem de fer una senzilla suma portant-se alguna xifra. Exemple:

11⁰ = 1, 11¹ = 11, 11² = 121, 11³ = 1.331, 11⁴ = 14.641 Ara comencen els canvis: 11⁵seria 15(10)(10)51, però fem la suma portant i obtenim: 11⁵ = 161.05111⁶ = 16(15)(20)(15)61 => 11⁶ = 1.771.561, etc.
I així fins moltes més.

L'ÀVIA PRESUMIDA

2010-05-19T15:58:00.013+02:00

"- Quants anys tens? - pregunta a la Maria una amiga.
- Tants com indiquen les dues darreres xifres de l’any del meu naixement - respon la Maria.
- El mateix dic - diu l’àvia de la Maria, que està fent mitja en un racó, però que no perd detall de la conversa.
- Àvia! - exclama la Maria -, està bé que et treguis uns quants anys, però no pretendràs tenir la mateixa edat que jo.
- Doncs en aquesta ocasió no m’he tret cap any...- protesta l’àvia, i s’ho demostra ensenyant el seu DNI.
Quina és l’edat de la Maria i de la seva àvia si la conversa va esdevenir dos anys després de les Olimpíades de Barcelona ’92?"

L'edat de la Maria:

1994-(x+1900)=x

2x=1994-1900

x=94/2=47

Posem 1994 perquè és l'any de què parlem, i li restem l'edat de la Maria més 1900, que sumen l'any en que va néixer. Això ens donarà l'edat de la Maria.

L'edat de l'àvia

1994-(y+1800)=y

2y=1994-1800

y=194/2=97

Posem 1994 igual que abans, li restem l'edat de l'àvia més 1800, perquè no pot ser la mateixa que la Maria. Llavors obtenim l'edat de l'àvia.

En aquest punt podem comprovar si el que hem averiguat coincideix amb l'enunciat:

47+1947=1994

97+1897=1994

La "X"

2010-03-02T22:24:00.003+01:00

Som l'Àfrica i l'Alba i hem triat aquesta curiositat perquè tracta de la X.

Quan utilitzem la x, que és una lletra molt comuna en les equacions hem d'anar amb compte de no confondre-la amb l'abecedari:

Sabeu què dóna aquesta expressió?

(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)...

Doncs dóna 0. Per què? Perquè si seguim fent-ho fins al final...

(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)(x-f)(x-g)(x-h)(x-i)(x-j)(x-k)(x-l)(x-m)(x-n)(x-o)(x-p)(x-q)(x-r)(x-s)(x-t)(x-u)(x-v)(x-w)(x-x)(x-y)(x-z)

...ens trobem que enmig de l'expressió algèbrica hi ha (x-x), que és 0 i per molts nombres o lletres multiplicant-se entre si que hi pugui haver, si es multiplica per 0, el seu resultat sempre serà 0.

2010-03-02T20:39:00.002+01:00

Hola som l'Àlex i la Joana i us exposem aquesta curiositat matemàtica, esperem que hos agradi.
El més gran dels números de tres xifres, el 999, és sens dubte extraordinari .
Una propietat interessant d’aquest número la trobem en la seva multiplicació per qualsevol altre número de tres xifres; obtenint un producte de sis xifres: les seves tres primeres xifres constitueixen el número multiplicat, disminuït amb una unitat, i les tres xifres restants són el ‘complement’ al 9, de les primeres.
Per exemple: 573 x 999 = 572 427
Tan sols ens cal donar una ullada a la següent línia per entendre l’origen d’aquesta particularitat i començar a obrir la nostra ment a les matemàtiques:
573 x 999 = 573 x (1000-1) = 573 000 – 573 = 572 427
Coneixent aquesta particularitat podem multiplicar ‘instantàniament’ qualsevol número de tres xifres per 999:
917 x 999 = 916 083,
509 x 999 = 508 491,
981 x 999 = 980 019.

ENDEVINAR L'EDAT

2010-03-02T18:37:00.010+01:00

Endevina l'edat

Pots endevinar l'edat d'una persona i el mes en què va néixer si fas que pensi en el nombre del mes de naixement (gener = 1, febrer = 2, ...) i després li demanes que el multipliqui mentalment per 2 i li sumi 5 al resultat. Després de multiplicar el resultat que ha obtingut per 50 i sumar la seva edat. Fes que et digui el resultat final de tots aquests càlculs i, mentalment, restal 250. El nombre obtingut tindrà 3 o 4 xifres. Les dues xifres de la dreta són les de l'edat, i les de l'esquerra són el número del mes de naixement. Sabries dir per què és així?.

Anomenem A al número del mes de naixement i B a l'edat. Seguim les següents operacions:

2A+5 --> (2A+5).50 --> (2A+5).50+B --> (2A+5).50+B-250" ">2A -> 2A +5 -> (2A +5) .50 -> (2A +5) .50 + B -> (2A +5) .50 + B-250

Operant queda: 100A +250 + B-250 = 100A + B

Així, sempre tindrem B a les unitats i desenes, i A en centenes i unitats de miler (si és el cas).

Guillem i Marcel: Nombres perfectes i nombres amics.

2010-02-28T18:14:00.006+01:00

Pel matemàtic Pitàgores la perfecció numèrica depenia dels divisors d'un nombre. Per ell els nombres perfectes són aquells tals que la suma dels seus divisors (sense incloure's ell mateix) és el propi nombre. Per exemple, el nombre 6 té de divisors 1, 2 i 3; és per tant un nombre perfecte ja que 1+2+3=6. El següent nombre perfecte és el 28, ja que 1+2+4+7+14=28. A mesura que augmenten els nombres és més difícil trobar nombres perfectes, així despres del 28 els següents són el 496 i el 8128. A més a més Pitàgores va trobar que els nombres perfectes sempre són suma d'una sèrie consecutiva de nombres:
6=1+2+3
28=1+2+3+4+5+6+7
496=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+...+30+31
8128=1+2+3+4+5+6+7+8+9+...+126+127
Tots els nombres perfectes són parells i només se'n coneixen uns trenta nombres perfectes.

Els nombres amics també va ser un descobriment dePitàgores i els seus deixebles. Els nombres amics són parelles de nombres tals que el primer equival a la suma dels divisors del segon, i aquest segon equival a la suma dels divisors del primer. La parella de nombres amics que van trobar és la formada pel 220 i el 284:
Divisors de 220: 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55 i 110, que sumats fan 284.
Divisors de 284: 1,2,4,71 i 142, que sumats fan 220.
Fins l'any 1636 no es va trobar una altre parella: 17296 i 18416, trobada per Fermat. Un altre matemàtic i filosof, René Descartes va trobar una altra parella, la formada pels nombres 9363584 i 9437056. Leonard Euler va trobar una llista de 62 parells de nombres amics. Curiosament tots ells es van deixar la parella 1184-1210, que va trobar Paganini al 1866 quan tenia setze anys.

CURIOSITAT MATEMÀTICA DE LA LAIA I LA LÍDIA

2009-12-06T19:53:00.003+01:00

La Laia i la Lídia us explicarem com endevinar l'edat d'una persona:
-1r: demana-li a un amic que a l'edat que té li sumi 90.
-2n: al resultat d'aquesta suma, ha d'eliminar el nombre que ocupa el lloc de les centenes i sumar-lo al número que ha obtingut.
-3r: ara li preguntes la quantitat i li sumes 9.
Seguint aquestes operacions podràs saber l'edat de qualsevol persona major de 10 anys.

EXEMPLE:
Edat: 50 anys
50+90=140
(1)40+1=40+1=41
41+9=50 (aquesta operació només la realitza l'endevinador).

Oriol Casas i Àlex Espinal: El número 2

2009-12-02T19:44:00.005+01:00

Hola som l'Oriol Casas i l'Àlex Espinal i us volem presentar un joc matemàtic molt curiós que hem trobat, diu el següent:

Un dia vaig recordar un vell joc mirant un programa a la televisió que consisteix en formar tots els números del 0 al 10 utilitzant només cinc cops el nombre 2 i el signes + , - , x i : . Respectant l'ordre de les operacions (primer multiplicacions i divisiones en l'ordre en que apareixen i després sumes i restes)

Així es pot formar:

0 = 2 – 2/2 – 2/2 = 2 - 1- 1 = 1 -1= 0
1 = 2 + 2 – 2 – 2/2 = 2 + 2 - 2 - 1= 4 - 3 = 1
2 = 2 + 2 + 2 – 2 – 2= 6 - 4= 2
3 = 2 + 2 – 2 + 2/2 = 4 - 2 + 1= 2 + 1= 3
4 = 2/2 + 2 + 2/2 = 1 + 2+ 1= 4
5 = 2 + 2 + 2 – 2/2 =6 - 1= 5
6 = 2 + 2 + 2 + 2 – 2 = 8 - 2 = 6
7 = 2 × 2 + 2 + 2/2 = 4 +2 + 1= 7
8 = 2 × 2 × 2 + 2 – 2 = 8 + 2 - 2 = 8
9 = 2 × 2 × 2 + 2/2 = 8 + 1= 9
10 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 6 + 4 = 10

Però el més entretingut és que cada resultat d'aquest joc no és únic. Per exemple, per construir el número 4 podem fer : 4 = 2/2 + 2 + 2/2 però una altra manera és : 4 =2 x 2 x 2 -2 -2 .

Andreu Oròs i Guillem Allepuz: El nombre Phi

2009-12-02T18:36:00.009+01:00

L'Andreu Oròs i el Guillem Allepuz us farem cinc cèntims sobre

el nombre Phi.

El nombre Phi és la relació entre un segment /a/ i un segment /b/ de tal manera que el valor d'a/b sigui 1,618033...

El rectangle d’or és aquell rectangle que els seus costats guarden la proporció àuria.
La proporció àuria podríem dir que és aquella proporció que es fa agradable i/o harmoniosa a la vista.
Posem l'exemple del DNI per a entendre-ho millor:

La imatge del DNI de l'esquerra es fa molt més agradable a la vista que la de la dreta, ja que a la dreta el veiem desproporcionat.

Si calculèssim la relació entre l'altura i l'amplada del DNI ens donaria el nombre Phi, es a dir, la proporció àuria.

A més del DNI també podem trobar la proporció àuria a les targetes de crèdit,carnets de soci de qualsevol associació, els bitllets, els fulls de la normativa DIN, etc...

La proporció àuria s'utilitza també en arquitectura, escultura o pintura.

Àfrica i Alba

2009-12-02T15:45:00.005+01:00

Hola, som l'Àfrica i l'Alba.

Aquí teniu el nostre enigma:

"Abans d'ahir tenia quinze anys, però l'any que ve ja podré votar.
Com pot ser això?"

Júlia Anguera i Berta Junyent

2009-12-01T20:04:00.002+01:00

L'endivinaràs?

La nostra curiositat matemàtica tracta sobre endivinar el número que pensa l'altra persona realitzant sumes i restes mentals.

Us ho explicarem mitjançant un diàleg:

-Jo: Pensa't un número.
-Participant: (5)
**(El que ve ara us ho podeu inventar):
-Suma-li 3, s'uma-li 5 i suma-li 2.
**(El participant li sumarà a 5 3+5+2=10, li donarà 15)
**(Jo únicament sumaré 3+5+2=10)
-Jo: Resta-li el nombre que t'has pensat al principi.
**(El participant realitzarà: 15-5=10
-Jo: És 10.
-Participant: Molt bé.

Us recordem que sabem el que li dóna la operació al participant perquè simplement sumem el que li hem dit nosaltres, perquè al restar-li el número que shavia pensat ell, només ens queden els nombres que li hem manat que sumés.

Som el Marcel i l'Anton, alumnes de 2n ESO, i em trobat una curiositat matemàtica relacionada amb el nombre 1

2009-12-01T19:08:00.004+01:00

Si multipliquem un nombre que en les seves xifres tan sols hi hagi 1 per un nombre que segueixi la mateixa norma, ens passa això:

1·1= 1
11·11= 121
111·111= 12321
1111·1111= 1234321
11111·11111= 123454321
111111·111111= 12345654321
1111111·1111111= 1234567654321
11111111·11111111= 123456787654321
111111111·111111111= 12345678987654321

El nombre d'1 multiplicat per l'altre nombre et dona la quantitat d'1 en nombres del 1 al 9 per exemple:

11= 2 xifres, per tan, 11·11= 121 --- 2 xifres
Contem fins, en aquest cas, 2(12_) i tornem enrere fins l'1(121)

Desxifra el nombre

2009-12-01T18:38:00.007+01:00

Nosaltres, la Brisa Alcón i la Júlia Ayats hem trobat interessant la següent curiositat matemàtica, per això tenim el plaer d’explicar-vos-la.

Aquesta curiositat consisteix en desxifrar quin nombre ha pensat la persona ,amb la qual estàs jugant, a través d’operacions matemàtiques bàsicament de càlcul mental.

Primer de tot: per poder realitzar aquesta curiositat hem de tenir sis taules amb uns nombre determinats que són els següents:

1 3 5 7 9 11 13 15 17
19 21 23 25 27 29 31 33 35
37 39 41 43 45 47 49 51 53
55 57 59 61 63

16 17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58
59 60 61 62 63

32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58
59 60 61 62 63

8 9 10 11 12 13 14 15 24
25 26 27 28 29 30 31 41 42
43 44 45 46 47 40 56 57 58
59 60 61 62 63

2 3 6 7 10 11 14 15 18
19 22 23 26 27 30 31 34 35
38 39 42 43 46 47 50 51 54
55 58 59 62 63

4 5 6 7 12 13 14 15 20
21 22 23 28 29 30 31 36 37
38 39 44 45 46 47 52 53 54
55 60 61 62 63

Després el jugador es pensa un número entre 1 i 63. Tot seguit va observant les taules i mira si el seu nombre hi apareix; si és així diu: "sí que hi apareix" i si és que no diu el contrari.Aixó s'ha de fer amb totes les sis graelles. Nosaltres ens hi hem de fixar molt bé perquè quan ens diu que sí hem de sumar els nombres que aparèixen en primera posició ja que tots aquests sumats donen 63.
Per aquesta raó endivinarem el nombre que el nostre jugador ha pensat.

Exemple: ( hem penso el número 23)
--> en la primera graella si que surt
--> en la segona graella si que surt
--> en la tercera graella no surt
--> en la quarta graella no surt
--> en la cinquena graella si que surt
--> en la sisena graella si que surt

Ens hem de quedar amb els nombres: 1, 16, 2 i 4 perquè són els primers nombres de la graella i en aquestes el nostre nombre si que surt. I ara sumem: 1 + 16 + 2 + 4=23! El nombre que haviem pensat.

EL NOMBRE 9

2009-11-22T22:17:00.006+01:00

Hola! Som la Marina i la Júlia i us explicarem una curiositat sobre el nombre 9.

A tothom ens costa multiplicar pel nombre 9 perquè és un nombre gran, etc. Doncs us ensenyarem una manera fàcil, ràpida i divertida per multiplicar aquest nombre.

Consisteix en:

Per començar, hem de posar els primers nombres, col·locant-los de menor a major.

9·1= 0
9·2 = 1
9·3 = 2
9·4 = 3
9·5 = 4
9·6 = 5
9·7 = 6
9·8 = 7
9·9 = 8

9·10 = 9

Hem de col·locar els segons nombres, de major a menor

9·1 = 09
9·2 = 18

9·3 = 27

9·4 = 36

9·5 = 45

9·6 = 54

9·7 = 63

9·8 = 72

9·9 = 81

9·10 = 90

El nombre màgic!

2009-11-19T18:40:00.010+01:00

Som la Mònica i la Clàudia i explicarem una curiositat matemàtica sobre un nombre màgic.
Es tracta d'un nombre clínic. Els nombres clínics es formen al dividir 1 entre qualsevol altre nombre. En el nostre cas dividim 1 entre 7 i el resultat és: 0,142857142857....
El nombre 142857 no és un nombre normal i corrent sinó que és tot el contrari. Ara ho expliquem.
Si multipliquem 142857 per qualsevol nombre del 1-6 ens donarà el mateix nombre però amb les xifres barrejades.
142857*1=14285
142857*2=428571
142857*3=285714
142857*4=857142
142857*5=571428
142857*6=714285
En canvi el 142857*7=999999
I aquí no s'acaba tot.
14+28+57=99
142+857=999
Quan multipliquem el nombre màgic per nombres superiors a 7 per aconseguir 142857 hem de sumar algunes xifres:
142857*8=1142856; si sumem 1+6= 7; per tant això dona 142857
142857*9=1285713
142857*10=1428570
142857*11=1571427
Si dividim qualsevol nombre inferior a 7 el resultat donarà:
3/7= 0,428571
4/7= 0,285714
5/7= o,857142
6/7= 0,571428
I per acabar...:
142 al quadrat= 20164
857 al quadrat=734449
Si restem 734449-20164 Endevineu el resultat?

Endevinar el pensament

2009-11-18T18:53:00.007+01:00

En Carlos i en Marc presentem un joc matemàtic amb el qual podem endevinar el que pensa una altra persona.
Primer, la persona a la que se li fa el truc ha de pensar un número entre el dos i el deu. A continuació ha de multiplicar el número per nou i suma les seves xifres ( per exemple 12, 1+2=3). Després ha de restar 5 al número que té. A continuació ha de passar aquest número a lletres, és a dir, 1 és igual a A, 2 és igual a B, 3 és igual a C, 4 és igual a D…Una vegada té la lletra ha de pensar el nom d’un país que comenci per aquesta lletra. Després ha de pensar el nom d’un animal en castellà que comenci per la segona lletra del país escollit. Finalment, la persona que fa el truc diu: “A Dinamàrca no hi ha iguanes”. Si el truc ha sortit bé, la persona a la que se li fa el truc ha d’haver pensat justament Dinamarca i iguana.
Això es deu a que sempre que multipliquem un número entre el 2 i el 10 per 9 i sumem les seves xifres el resultat sempre és 9.
2x9=18 1+8=9
3x9=27 2+7=9
4x9=36 3+6=9
5x9=45 4+5=9
6x9=54 5+4=9
7x9=63 6+3=9
8x9=72 7+2=9
9x9=81 8+1=9
10x9=90 9+0=9
Com a conseqüència sempre que li restem 5 a 9 donarà 4, i la lletra serà la D. El primer país que sen’s acudeix és Dinamarca, i la primera lletra de l’animal és la I i el primer animal que sen’s acudeix comenci és l’ iguana. D’aquesta forma, si la persona a la que se li fa el truc calcula bé, és molt difícil equivocar-se.

Escacs i matemàtiques

2009-10-12T20:59:00.015+02:00

Els escacs, una activitat ben nostra, tenen una curiosa i coneguda relació amb les matemàtiques. Si obres la web següent descobriràs això i moltes coses més...
Jordi Carmona

http://www.redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/nombres/mate1k.htm

Galeria d’escacs:
http://www.chess-poster.com/spanish/galeria/galeria.htm

Benvinguda

2009-10-12T18:40:00.002+02:00

Nou blog d’Ampliació de Matemàtiques de 2n d’ESO.

Cal que cada trimestre facis al menys una entrada d’una curiositat matemàtica que hauràs d’explicar a classe.
Les entrades no han de tenir cap falta d’ortografia.
Es valorarà per l’avaluació de la teva aportació:
1. L’interès de la notícia, ressenya, curiositat, etc.
2. La qualitat de la redacció.
3. L’adequació del nivell de dificultat als coneixements que tenim a 2n d’ESO.
4. La capacitat i claredat de la teva exposició a classe.
5. La vinculació a altres pàgines i links.
6. La relació amb els temes que estem fent aquest any a matemàtiques.
7. Els links que aportis amb vídeos, pàgines interactives, imatges, etc.
8. Totes les entrades han d’anar signades amb el teu nom i cognom i la identificació de la teva classe.

Jordi Carmona
Professor