diumenge, 28 de febrer de 2010

Guillem i Marcel: Nombres perfectes i nombres amics.

Pel matemàtic Pitàgores la perfecció numèrica depenia dels divisors d'un nombre. Per ell els nombres perfectes són aquells tals que la suma dels seus divisors (sense incloure's ell mateix) és el propi nombre. Per exemple, el nombre 6 té de divisors 1, 2 i 3; és per tant un nombre perfecte ja que 1+2+3=6. El següent nombre perfecte és el 28, ja que 1+2+4+7+14=28. A mesura que augmenten els nombres és més difícil trobar nombres perfectes, així despres del 28 els següents són el 496 i el 8128. A més a més Pitàgores va trobar que els nombres perfectes sempre són suma d'una sèrie consecutiva de nombres:
6=1+2+3
28=1+2+3+4+5+6+7
496=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+...+30+31
8128=1+2+3+4+5+6+7+8+9+...+126+127
Tots els nombres perfectes són parells i només se'n coneixen uns trenta nombres perfectes.

Els nombres amics també va ser un descobriment dePitàgores i els seus deixebles. Els nombres amics són parelles de nombres tals que el primer equival a la suma dels divisors del segon, i aquest segon equival a la suma dels divisors del primer. La parella de nombres amics que van trobar és la formada pel 220 i el 284:
Divisors de 220: 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55 i 110, que sumats fan 284.
Divisors de 284: 1,2,4,71 i 142, que sumats fan 220.
Fins l'any 1636 no es va trobar una altre parella: 17296 i 18416, trobada per Fermat. Un altre matemàtic i filosof, René Descartes va trobar una altra parella, la formada pels nombres 9363584 i 9437056. Leonard Euler va trobar una llista de 62 parells de nombres amics. Curiosament tots ells es van deixar la parella 1184-1210, que va trobar Paganini al 1866 quan tenia setze anys.