dissabte, 5 de juny de 2010

EL TRIANGLE DE TARTAGLIA

Som la Marta i l'Àfrica i presentem la nostra curiositat matemàtica, El Triangle de Tartaglia.

Aquest triangle es genera a partir de situar el número 1 al seu extrem superior, a partir d’aquí les successives files es construeixen col·locant un 1 a cada cantonada i la resta de caselles és igual a la suma dels dos nombres que té al damunt en una infinita sèrie d’uns laterals i de sumatoris de caselles que produeixen un incessant augment dels nombres que el composen.
Doncs bé, aquesta figura, que podria semblar pels neòfits un simple entreteniment de càlcul, amaga una diversitat de propietats i curiositats tan gran que el converteixen en un petit univers matemàtic en sí mateix i una eina d’immensa utilitat en el camp numèric, etc.
Els matemàtics de totes les èpoques, des del seu descobriment, han posat els seus ulls en ell i han buscat tota mena de sorprenents relacions, utilitats i recursos.

Aquestes són algunes de les seves característiques:

- El número 1 de l’extrem superior del triangle es considera com la fila zero.

- Cada número es genera a partir de la suma dels dos nombres que té a sobre.
Així, per exemple, els dos uns de la fila 1 sumats formen el 2 central de la segona fila.
La tercera fila es forma a partir del 1 + 2 = 3 i 2 + 1 = 3. La quarta és 1 + 3 = 4, 3 + 3 = 6, etc.

- Totes les files mostren una estructura simètrica, les de ordre parell tenen un número central únic, les de ordre senar tenen dos nombres idèntics al centre. La suma de cada semifila imparell és, òbviament, igual.

- La suma dels nombres de cada fila és igual a 2 elevat al número de la fila.
La quarta fila, per exemple: 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 24. La sisena 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64 = 26

- Cada fila expressa les successives potències del número 11, les quatre primeres de forma clara, i a partir de la cinquena fila, si una casella està formada per més d'una xifra, hem de fer una senzilla suma portant-se alguna xifra. Exemple:

110 = 1, 111 = 11, 112 = 121, 113 = 1.331, 114 = 14.641
Ara comencen els canvis: 115seria 15(10)(10)51, però fem la suma portant i obtenim: 115 = 161.051
116 = 16(15)(20)(15)61 => 116 = 1.771.561, etc.

I així fins moltes més.

Cap comentari:

Publica un comentari